Итак, на двери сигарного магазина было написано: дверь открывается вовнутрь.
Какого магазина – не указываю, так как написано с ошибкой. Литературной норме соответствует только один вариант: Дверь открывается внутрь.
«Внутрь» — наречие, которое используется в значении «во внутреннюю часть, в пределы, в глубину».
Вариант «вовнутрь» — возможен, он разговорный, со сниженной стилистической окраской. А это, понятно, не для сигарного места. Сочетание же «во внутрь» — невозможно нигде.
